Question

（2010•長寧區一模）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=AB，P是邊AC上的一個點，AP=PD，∠APD=∠ABC，連接DC并延長交邊AB的延長線于點E．
（1）求證：AD∥BC；
（2）設AP=x，BE=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）連接BP，當△CDP與△CBE相似時，試判斷BP與DE的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用相似比相等證明△DAP∽△ABC，求得∠DAP=∠ACB，然后利用內錯角相等，兩直線平行，推出結論．
（2）設AP=x，則AD=2x．由已知，AB=4，得出BC=2．利用AD∥BC，從而得出，整理，得y關于x的函數解析式為．
（3）由圖形得知，當△CDP與△CBE相似時，∠PCD=∠BCE，推出，即，求得x、y的值，從而得出BP∥DE．
解答：解：
（1）證明：∵，，∴．
（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．（1分）
∴∠DAP=∠ACB，（1分）
∴AD∥BC．（1分）

（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD．（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．（1分）
∵，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，∴，即．（1分）
整理，得y關于x的函數解析式為．（1分）
定義域為1＜x≤4．（1分）

（3）解：平行．（1分）
證明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD＞∠E，
∴當△CDP與△CBE相似時，∠PCD=∠BCE．（1分）
∴，即．（1分）
把代入，整理得x²=4．
∴x=2，x=-2（舍去）．（1分）
∴y=4，
∴AP=CP，AB=BE，（1分）
∴BP∥CE，即BP∥DE．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，二次函數以及平行線的判定等知識點，綜合性強．