Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點D，連結CD，延長AC，BD，相交于點F.現給出下列結論：

①若AD=5，BD=2，則DE=；

②；

③∽；

④若直徑AG⊥BD交BD于點H，AC=FC=4，DF=3，則cosF=；

則正確的結論是（ ）

A．①③ B.②③④ C.③④ D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題分析：此題主要考查圓的綜合問題，熟悉圓的相關性質，會證明三角形相似并解決相關問題，能靈活運用垂徑定理和三角函數是解題的關鍵．

①只需證明△BDE∽△ADB，運用對應線段成比例求解即可； ②連接CD，假設∠ACB=∠DCF，推出與題意不符即可判斷； ③由公共角和同弧所對的圓周角相等即可判斷； ④先證明△FCD∽△FBA，求出BD的長度，根據垂徑定理求出DH，結合三角函數即可求解．

①如圖1，∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠CAD=∠CBD，

∴∠BAD=∠CBD，

∵∠BDE=∠BDE，

∴△BDE∽△ADB，

∴，

由AD=5，BD=2，可求DE=，

①不正確；

②如圖2，

連接CD，

∠FCD+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，

∴∠FCD=∠ABD，

若∠ACB=∠DCF，因為∠ACB=∠ADB，

則有：∠ABD=∠ADB，與已知不符，

故②不正確；

③如圖3，

∵∠F=∠F，∠FAD=∠FBC，

∴△FDA∽△FCB；

故③正確；

④如圖4，連接CD，由②知：∠FCD=∠ABD，

又∵∠F=∠F，

∴△FCD∽△FBA，

∴，

由AC=FC=4，DF=3，可求：AF=8，FB=，

∴BD=BF-DF=，

∵直徑AG⊥BD，

∴DH=，

∴FG=，

∴cosF==，

故④正確.

故選C．