Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．

（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2，DE=1，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠DBO=90°，

∵CD切⊙O于D，

∴∠CDO=90°，

∴∠BDC+∠ODB=90°，

∵OD=OB，

∴∠DBO=∠ODB，

∴∠BDC=∠A

（2）解：∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴ = ，

∴ = ，

∴AE=4，

∴AD=AE﹣DE=4﹣1=3

【解析】（1）出現切線時，常用的輔助線為連接切點和圓心，構造直角，利用余角的性質可證出;（2）利用直徑的性質和平行的性質，可證出△AEC∽△CED，對應邊成比例求出AE，減去DE，求出AD.
【考點精析】關于本題考查的圓周角定理和切線的性質定理，需要了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．