Question

（2010•濟南）如圖所示，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，直線BD的函數表達式為，拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C、與x軸交于點E．
（1）求A、B、C三個點的坐標；
（2）點P為線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點M，以點B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點N，分別連接AN、BM、MN．
①求證：AN=BM；
②在點P運動的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？并求出該最大值或最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，即可求出A、B點的坐標；聯立拋物線的對稱軸方程及直線BD的解析式即可求出C點的坐標；
（2）①求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABN≌△BCM即可；
②由圖知：四邊形AMNB的面積為△ABC與△CMN的面積差，等邊△ABC的面積易求得，關鍵是求△CMN的面積；過M作MF⊥CN于F，設AP=AM=m，則可用m表示出CM、BN、CN的長，進而可在Rt△MFC中，根據∠ACB的正弦值求出MF的表達式，由此可得到△CMN的面積，即可求得關于四邊形AMNB的面積和m的函數關系式，即可根據函數的性質求出四邊形AMNB的最大或最小值．
解答：解：（1）令-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）（2分）
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
將x=1代入，
得y=2，
∴C（1，2）；（3分）

（2）①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，
∴∠CAE=60°，
由拋物線的對稱性可知l是線段AB的垂直平分線，
∴AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，（4分）
∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60°，
又∵AM=AP，BN=BP，
∴BN=CM，
∵在△ABN與△BCM中，
，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴AN=BM；（5分）
②四邊形AMNB的面積有最小值．（6分）
設AP=m，四邊形AMNB的面積為S，
由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S_△ABC=×4²=，
∴CM=BN=BP=4-m，CN=m，
過M作MF⊥BC，垂足為F
則MF=MC•sin60°=，
∴S_△CMN==•=，（7分）
∴S=S_△ABC-S_△CMN
=-（）
=（8分）
∴m=2時，S取得最小值3．（9分）
點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法，等邊三角形、全等三角形的判定和性質，圖形面積的求法等重要知識．