Question

設m，n是給定的整數，4＜m＜n，A₁A₂…A_2n+1是一個正2n+1邊形，P={A₁，A₂，…，A_2n+1}．求頂點屬于P且恰有兩個內角是銳角的凸m邊形的個數．

Answer 1

先證一個引理：頂點在P中的凸m邊形至多有兩個銳角，且有兩個銳角時，這兩個銳角必相鄰．
事實上，設這個凸m邊形為P₁P₂P_m，只考慮至少有一個銳角的情況，此時不妨設∠PmP1P2＜

π

2

，則∠P2PjPm=π-∠P2P1Pm＞

π

2

(3≤j≤m-1)，
更有∠Pj-1PjPj+1＞

π

2

(3≤j≤m-1)．
而∠P₁P₂P₃+∠P_m-1P_mP₁＞π，故其中至多一個為銳角，這就證明了引理．
由引理知，若凸m邊形中恰有兩個內角是銳角，則它們對應的頂點相鄰．
在凸m邊形中，設頂點A_i與A_j為兩個相鄰頂點，且在這兩個頂點處的內角均為銳角．
設A_i與A_j的劣弧上包含了P的r條邊（1≤r≤n），這樣的（i，j）在r固定時恰有2n+1對．
（1）若凸m邊形的其余m-2個頂點全在劣弧A_iA_j上，而A_iA_j劣弧上有r-1個P中的點，此時這m-2個頂點的取法數為C_r-1^m-2．
（2）若凸m邊形的其余m-2個頂點全在優弧A_iA_j上，取A_i，A_j的對徑點B_i，B_j，由于凸m邊形在頂點A_i，A_j處的內角為銳角，
所以，其余的m-2個頂點全在劣弧B_iB_j上，而劣弧B_iB_j上恰有r個P中的點，此時這m-2個頂點的取法數為C_r^m-2．
所以，滿足題設的凸m邊形的個數為

(2n+1) n r=1 ( C m-2r-1 + C m-2r )=(2n+1)( n r=1 C m-2r-1 + n r=1 C m-2r ) =(2n+1)( n r=1 ( C m-1r - C m-1r-1 )+ n r=1 ( C m-1r+1 - C m-1r ))

=（2n+1）（C_n+1^m-1+C_n^m-1）．
故頂點屬于P且恰有兩個內角是銳角的凸m邊形的個數為：（2n+1）（C_n+1^m-1+C_n^m-1）．