Question

【題目】已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AC＝12cm，BD＝16cm．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？

（2）設四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出t的值，并求出此時P，E兩點間的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 當t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．（2）y=-t2+t+48．（3） PE=（cm）．

【解析】

試題（1））由四邊形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，運用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出．求出DF．由AP=DF．求出t．

（2）過點C作CG⊥AB于點G，由S菱形ABCD=ABCG=ACBD，求出CG．據S梯形APFD=（AP+DF）CG．S△EFD=EFQD．得出y與t之間的函數關系式；

（3）過點C作CG⊥AB于點G，由S菱形ABCD=ABCG，求出CG，由S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，據線段關系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6， OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB=10

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴．即

∴DF=

∵四邊形APFD是平行四邊形，

∴AP=DF．

即10-t=

解這個方程，得t=．

∴當t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．

（2）如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵S菱形ABCD=ABCG=ACBD，

即10CG=×12×16，

∴CG=

∴S梯形APFD=（AP+DF）CG

=（10-t+）

=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴

即

∴QF=．

同理，EQ=

∴EF=QF+EQ=．

∴S△EFD=EFQD=××t=．

∴y=（t+48）-=-+t+48．

（3）如圖，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

若S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，

則-+t+48=×96，

即5t2-8t-48=0，

解這個方程，得t1=4，t2=-（舍去）

過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

當t=4時，

∵△PBN∽△ABO，

∴

即

∴PN=，BN=

∴EM=EQ-MQ=3-=

PM=BD-BN-DQ=16--4=

在Rt△PME中，

PE=cm.