Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝14，E為DC上的一個點，將△ADE沿AE折疊，使得點D落在D'處，若以C、B、D'為頂點的三角形是等腰三角形，則DE的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分三種情況討論：①當CD'＝BD'時，如圖1，連接DD'，由矩形的性質和等腰三角形的性質可得AB＝CD，∠DCD′＝∠ABD′，進而可利用SAS證明△DD′C≌△AD′B，可得DD′＝AD′，從而可得△ADD′是等邊三角形，進一步即可得出∠DAE＝30°，然后解直角△ADE即可求出DE；

②當CD'＝CB時，如圖2，連接AC，則AC易求，然后根據三角形的三邊關系即可得出結論；

③當BD'＝BC時，如圖3，過D'作AB的垂線，垂足為F，延長FD'交CD于G，則有AD'＝BD'=8，由等腰三角形的性質可得AF＝BF，根據勾股定理可得D'F，易證△AD'F∽△D'EG，然后根據相似三角形的性質即可求出D'E，進而可得答案．

解：①當CD'＝BD'時，則∠D′BC＝∠D′CB，如圖1，連接DD'，由折疊性質得：AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴∠DCD′＝∠ABD′，

∴△DD′C≌△AD′B（SAS），∴DD′＝AD′，

∴DD′＝AD′＝AD，

∴△ADD′是等邊三角形，

∴∠DAD′＝60°，∴∠DAE＝30°，

則在直角△ADE中，；

②當CD'＝CB時，如圖2，連接AC，

由于AD'＝8，CD'＝8，而AC=＞8+8；

故這種情況不存在；

③當BD'＝BC時，如圖3，過D'作AB的垂線，垂足為F，延長FD'交CD于G，

∵AD'＝AD=BC=BD'=8，∴AF＝BF=7，

則在直角△AFD'中，由勾股定理，得：D'F＝，

∵∠AFG=∠AD'E=∠EGF=90°，∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，

∴△AD'F∽△D'EG，∴，

∴，解得：，即．

故答案為：或．