Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A是y軸負半軸上的一個動點，點B是x軸負半軸上的一個動點，連接AB，過點B作AB的垂線，使得BC＝AB，且點C在x軸的上方．

（1）求證：∠CBD＝∠BAO；

（2）如圖2，點A、點B在滑動過程中，把AB沿y軸翻折使得AB'剛好落在AC的邊上，此時BC交y軸于點H，過點C作CN垂直y軸于點N，求證AH＝2CN；

（3）如圖3，點A、點B在滑動過程中，使得點C在第二象限內，過點C作CF垂直y軸于點F，求證：OB＝AO+CF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據，以及可證明∠CBD＝∠BAO；

（2）延長CN、AB交于點I，根據折疊的性質知∠BAN＝∠CAN，則可證明△CAN≌△IAN，則有CN＝NI，再證明△ICB≌△HAB，即可得出AH＝2CN；

（3）過C作CJ垂直x軸，垂足為J則CJOF為長方形則CF＝OJ，根據∠CBO+∠BCJ＝∠CBO+∠OBA＝900得出∠BCJ＝∠OBA，證明△CBJ≌△BAO，即可證明OB＝OA+CF.

解：（1）∵

∴∠CBD+∠DBA＝∠BAO+∠DBA＝900

∴∠CBD＝∠BAO

（2）因為AB沿y軸翻折可知，

∠BAN＝∠CAN

延長CN、AB交于點I，

在△CAN和△IAN中

∴△CAN≌△IAN（ASA）

∴CN＝NI

∴CI＝2CN

∵CN⊥y軸

∴∠CNH＝∠CBA＝900

∠BHA＝∠NHC

∴∠NCH＝∠BAH

在△ICB和△HAB

∴△ICB≌△HAB（ASA）

∴AH＝CI

∴AH＝2CN

（3）過C點作CJ垂直x軸，垂足為J則CJOF為長方形

∴CF＝OJ

∵∠CBO+∠BCJ＝∠CBO+∠OBA＝900

∴∠BCJ＝∠OBA

在△CBJ和△BAO中

∴△CBJ≌△BAO（AAS）

∴BJ＝OA

∵OB＝BJ+JO

∴OB＝OA+CF