Question

【題目】如圖1，在中，，點是的中點，以為直徑做分別交，于點，.

（1）求證：.

（2）如圖2，連，，當時，求證：四邊形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線性質得MA＝MB，則∠A＝∠MBA，再利用圓內接四邊形的性質證明∠MDE＝∠MED，于是得到MD＝ME；

（2）先證明△OAD和△OBE為等邊三角形，再證明四邊形DOEM為平行四邊形，然后加上OD＝OE可判斷四邊形ODME是菱形．

（1）在Rt△ABC中，點M是AC的中點，

∴MA＝MB，

∴∠A＝∠MBA；

∵四邊形ABED是圓內接四邊形，

∴∠ADE＋∠ABE＝180°，

而∠ADE＋∠MDE＝180°，

∴∠MDE＝∠MBA；

同理可得∠MED＝∠A，

∴∠MDE＝∠MED，

∴MD＝ME；

（2）∵∠C＝30°，

∴∠A＝60°，

∴∠ABM＝60°，

∴△OAD和△OBE為等邊三角形，

∴∠BOE＝60°，

∴∠BOE＝∠A，

∴OE∥AC，

同理可得OD∥BM，

∴四邊形DOEM為平行四邊形，

而OD＝OE，

∴四邊形ODME是菱形．