Question

【題目】如果點將線段分成兩條相等的線段和，那么叫做線段的二等分點(中點);如果點，將線段分成三條相等的線段，和，那么，叫做線段的三等分點;…;依此類推，如果點將線段分成條相等的線段，那么叫做線段的等分點，如圖①所示.

已知點在直線的同側，請回答下列問題.

(1)在所給邊長為個單位長度的正方形網格中，探究:

①如圖②，若點到直線的距離分別是4個單位長度和2個單位長度，則線段 的中點到直線的距離是 個單位長度;

②如圖③，若點到直線的距離分別是2個單位長度和5個單位長度，則線段 的中點到直線的距離是 個單位長度;

③由①②可以發現結論:若點到直線的距離分別是個單位長度和個單位長度，則線段 的中點到直線的距離是 個單位長度.

(2)如圖④，若點到直線的距離分別是和，利用(1)中的結論求線段的三等分點，到直線的距離分別是 .

(3)若點到直線的距離分別是和，點為線段的等分點，直接寫出第個等分點到直線的距離.

Answer 1

【答案】(1)①3;②;③;(2) ;(3)第個等分點到直線的距離：.

【解析】

（1）根據題意，在圖②、圖③中畫出圖形，觀察，從而求得線段AB的中點到直線的距離與點A、B到直線的距離和的關系．
（2）設P1M=x，由（1）中結論可得 =x，則P2N=2x-d1，由（1）中結論可得

=P2N，即 =2x-d1，易求即點1、P2到直線l的距離分別為

、 ；
（3）根據（1）、（2）的規律總結第i個n等分點Pi到直線l的距離．

(1)①如圖②,AB在直線l的同側,則線段AB的中點P到直線l的距離是×(4+2)=3(cm)；

故答案是：3；

②如圖③,若點A.B到直線l的距離分別是2個單位和5個單位,那么線段AB的中點P到直線l的距離是：=(單位).

故答案是：；

③由①②可以發現結論：若點A.B到直線l的距離分別是h個單位和t個單位,那么線段AB的中點P到直線l的距離是單位。

故答案是：.

(2)如圖(4),設P1M=x,由(1)中結論可得 =x，

∴P2N=2xd1，

由(1)中結論可得 =P2N,即 =2xd1，

解方程得x= ，

∴P2N=,即點P1、P2到直線l的距離分別為 、 ，

若點A.B到直線l的距離分別是d1和d2,利用(1)中的結論求線段AB的三等分點P1、P2到直線l的距離 、.

(3)若點A.B到直線l的距離分別是d1和d2,點P1、P2、…Pn1為線段AB的n等分點,則第i個n等分點Pi到直線l的距離是.