Question

【題目】已知：如圖1，點D是△ABC的邊BC的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F，且BF=CE．

（1）求證：AE=AF；
（2）如圖2，若∠BAC=60°，△ABD的面積為4，連接AD交EF于M，連接BM、CM，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有面積為1的三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠DFB=∠DEC=90°，

在RT△DBF和RT△DCE中，

，

∴△DBF≌△DCE，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，∵BF=CE，

∴AF=AE．

（2）

解：∵AF=AE，

∠AFE=∠AEF，

∵∠A+2∠AFE=180°，∠A+2∠B=180°，

∴∠AFE=∠B，

∴EF∥BC，

∵BD=DC，

∴S△BDF=S△BDM=S△CDM=S△CDE，

設BD=a，∵∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，AD= BD= a，

∴S△ABD= a a=4，

∴a2=

∴S△BDF= BFDF= a a= a2=1，

∴S△BDF=S△BDM=S△CDM=S△CDE=1

【解析】（1）由△DBF≌△DCE得∠B=∠C，根據等角對等邊得AB=AC，由此即可證明．（2）首先證明EF∥BC，得S△BDF=S△BDM=S△CDM=S△CDE ， 設BD=a，根據S△ABD=4得出a2= ，再求出S△BDF=1，由此即可解決問題．