Question

（2012•百色）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，直線l是經過點C的切線，BD⊥l，垂足為D，且AC=8，sin∠ABC=

4

5

．
（1）求證：BC平分∠ABD；
（2）過點A作直線l的垂線，垂足為E（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法、證明），并求出四邊形ABDE的周長．

Answer 1

分析：（1）根據OC⊥l，BD⊥l，得出OC∥BD，再利用等邊對等角以及平行線的性質得出∠CBD=∠OBC進而得出答案；
（2）以A為圓心大于A到l距離大于為半徑畫弧，進而得出E點，再利用相似三角形的判定得出△ACB∽△CDB，進而得出BD=3.6，CD=4.8，CE=4.8，AE=6.4，即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1，
連接OC，則OC⊥l．
又∵BD⊥l，
∴OC∥BD．
∴∠OCB=∠CBD．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∴∠CBD=∠OBC．
∴BC平分∠ABD．

（2）解：如圖2所示：
CE就是所求作的垂線．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

8

AB

=

4

5

．
∴AB=10．
∴BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6．
∵∠CBD=∠OBC，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB．
∴

AB

CB

=

BC

BD

=

AC

CD

，
即

10

6

=

6

BD

=

8

CD

．
∴BD=3.6，CD=4.8．
同理可得CE=4.8，AE=6.4．
∴DE=CD+CE=4.8+4.8=9.6．
∴四邊形ABDE的周長=AB+DE+BD+AE=10+9.6+3.6+6.4=29.6．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質以及尺規作圖和切線的性質等知識，利用已知得出△ACB∽△CDB是解題關鍵．