Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B（6，0）兩點，且對稱軸為直線x=2，與y軸交于點C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，連接MA、MC，當△MAC的周長最小時，求點M的坐標；
（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據拋物線與x軸交于A、B（6，0）兩點，且對稱軸為直線x=2可以求出A的坐標，然后設所求拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），接著把C的坐標代入其中即可求解；
（2）根據題意知道當△MAC的周長最小時，即MA+MC的值最小，然后連BC，交直線x=2于點M，即為所求的點．根據作圖可以求出直線BC的解析式，把x=2代入其中求出y即可解決問題；
（3）存在．首先根據已知條件求出D的坐標，然后討論：
如圖（1），當AF₂為平行四邊形的邊時，接著根據平行四邊形的性質得到E的坐標；
如圖（2），當AF為平行四邊形的對角線時，設E′的坐標為（x，4），把E′（x，4）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4得x=2±2

7

，由此即可求解．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A、B（6，0）兩點，且對稱軸為直線x=2，
∴A（-2，0），
又∵拋物線過點A、B、C，
故設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），
將點C的坐標代入，
求得a=

1

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x2-

4

3

x-4；

（2）當△MAC的周長最小時，即MA+MC的值最小，
連接BC，交直線x=2于點M，即為所求的點；
∵直線BC經過B（6，0），C（0，-4），
∴直線CB的解析式為yBC=

2

3

x-4，
當x=2時，y=-

8

3

∴M(2，-

8

3

)；

（3）∵點D（4，k）在拋物線y=

1

3

x2-

4

3

x-4上，
∴當x=4時，k=-4，
∴點D的坐標是（4，-4），
如圖（1），當AF₂為平行四邊形的邊時，
∵D（4，-4），
∴DE=4．
∴F₁（-6，0）；
如圖（2），當AF為平行四邊形的對角線時，
F的坐標為（x，0）
把F（x，0）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4，
得x=2±2

7

．
∴F₂（2+2

7

，0），F₃（2-2

7

，0）．

點評：此題是二次函數的綜合題，分別考查了待定系數法確定函數的解析式、平行四邊形的性質及軸對稱的性質，綜合性比較強，要求學生有很強的綜合分析問題，解決問題的能力，同時相關的基礎知識也熟練掌握．