Question

【題目】如圖，拋物線 y ax2 2a（x a＜0）位于 x 軸上方的圖象記為F1，它與 x 軸交于 P1、O 兩點(diǎn)，圖象 F2與F1關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱， F2 與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 P2 ， F1 將與 F2 同時(shí)沿 x 軸向右平移 P1 P2 的長(zhǎng)度即可得到F3與F4 ；再將 F3與F4 同時(shí)沿 x 軸向右平移 P1 P2 的長(zhǎng)度即可得到 F5與F6 ；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象 F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)n ．我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”．

（1）當(dāng) a=﹣1 時(shí)，

①求 F1 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②點(diǎn) H（2014，﹣3） （填“在”或“不在”）該“波浪拋物線”上；若圖象 F n的頂點(diǎn) T n的橫坐標(biāo)為201，則圖象 F n對(duì)應(yīng)的解析式為 ， 其自變量 x 的取值范圍為 .

（2）設(shè)圖象 Fn、Fn+1 的頂點(diǎn)分別為 Tn、Tn+1 （n 為正整數(shù)），x 軸上一點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（12，0）．試探究： 當(dāng) a 為何值時(shí)，以 O、 Tn、Tn+1 、Q 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？并直接寫出此時(shí) n 的值．

Answer 1

【答案】（1）①（﹣1，1）；②不在， y =（x﹣201）2﹣1 ，200≤x≤202；（2）a=﹣，故此時(shí) n 的值為 4．

【解析】

（1）①a=-1代入拋物線的解析式，然后令y=可求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而可得到p1的坐標(biāo)，然后依據(jù)平移的方向和距離可得到點(diǎn)P2的坐標(biāo)，接下來(lái)，利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)F1的坐標(biāo)②根據(jù)該“波浪拋物線”頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)分別為1和-1即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)OQ中點(diǎn)為O′，則線段TnTn+1經(jīng)過(guò)O′，再根據(jù)圖形平移的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）①當(dāng)a=-1時(shí)，y=ax2+2ax=-x2-2x．

令-x2-2x=0，解得：x=0或x=-2．

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（-2，0）．

由平移的性質(zhì)可知P2的坐標(biāo)為（2，0）．

∵y=-x2-2x=（x+1）2+1，

∴圖象F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，1）；

②∵該“波浪拋物線”頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)分別為1和-1，

∴點(diǎn)H（2015，-2），不在該“波浪拋物線”上，

∵圖象Fn的頂點(diǎn)Tn的橫坐標(biāo)為201，

201÷4=50…1，故其圖象與F2，F4…形狀相同，

則圖象Fn對(duì)應(yīng)的解析式為：y=（x-201）2-1，

其自變量x的取值范圍為：200≤x≤202．

（2）設(shè)OQ中點(diǎn)為O′，則線段TnTn+1經(jīng)過(guò)O′，

由題意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′Tn+1，

∴當(dāng)TnTn+1=OQ=12時(shí)，四邊形OTnTn+1Q為矩形，

∴O′Tn+1=6，

∵F1對(duì)應(yīng)的解析式為y=a（x+1）2-a，

∴F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-a），

∴由平移的性質(zhì)可知，點(diǎn)Tn+1的縱坐標(biāo)為-a，

∴由勾股定理得（-a）2+（-1）2=62，

∴a=±，

∵a＜0，

∴a=﹣ ，故此時(shí) n 的值為 4．