Question

【題目】在圖1﹣﹣圖4中，菱形ABCD的邊長為3，∠A=60°，點M是AD邊上一點，且DM=AD，點N是折線AB﹣BC上的一個動點．

（1）如圖1，當N在BC邊上，且MN過對角線AC與BD的交點時，則線段AN的長度為 ．

（2）當點N在AB邊上時，將△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如圖2，

①若點A′落在AB邊上，則線段AN的長度為 ；

②當點A′落在對角線AC上時，如圖3，求證：四邊形AM A′N是菱形；

③當點A′落在對角線BD上時，如圖4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①1；②見解析；③=．

【解析】

試題分析：（1）過點N作NG⊥AB于G，構造直角三角形，利用勾股定理解決問題；

（2）①利用線段中垂線的性質得到AN=A′N，再由三角函數求得；

②利用菱形的性質得到對角線平分每一組對角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根據翻折的性質得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四邊形AM A′N是菱形；

③根據菱形的性質得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，證得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，利用三角形相似得到結果．

解：（1）如圖1，過點N作NG⊥AB于G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OD=OB，

∴==1，

∴BN=DM=AD=1，

∵∠DAB=60°，

∴∠NBG=60°

∴BG=，GN=，

∴AN===；

故答案為：；

（2）①當點A′落在AB邊上，則MN為AA′的中垂線，

∵∠DAB=60°AM=2，

∴AN=AM=1，

故答案為：1；

②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，

∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，

∴∠AMN=∠ANM=60°，

∴AM=AN，

∴AM=A′M=AN=A′N，

∴四邊形AM A′N是菱形；

③在菱形ABCD中，AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD=60°，

∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，

∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，

∴∠NA′B=∠DMA′，

∴△DMA′∽△BA′N，

∴=，

∵MD=AD=1，A′M=2，

∴=．