Question

【題目】如圖，矩形AEFG的頂點E，G分別在正方形ABCD的AB，AD邊上，連接B，交EF于點M，交FG于點N，設AE=a，AG=b，AB=c（b＜a＜c）．

（1）求證： = ；
（2）求△AMN的面積（用a，b，c的代數式表示）；
（3）當∠MAN=45°時，求證：c2=2ab．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點N作NH⊥AB于點H，過點M作MI⊥AD于點I，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠ABD=45°，

∴△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形，

∴BN= NH= AG= b，DM= MI= AE= a，

∴ =

（2）解：S△AMN=S△ABD﹣S△ABM﹣S△ADN

= ABAD﹣ ABME﹣ ADNG

= c2﹣ c（c﹣a）﹣ c（c﹣b）

= c（c﹣c+a﹣c+b）

= c（a+b﹣c）

（3）解：∵∠DMA=∠ABD+∠MAB=∠MAB+45°，∠BAN=∠MAB+∠MAN=∠MAB+45°，

∴∠DMA=∠BAN，

∵∠ABD=∠ADB=45°，

∴△ADM∽△NBA，

∴ = ，

∵DM= a，BN= b，

∴c2=2ab．

【解析】（1）作NH⊥AB垂足為H，作MI⊥AD垂足為I，依據題意可得到△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形，則可求得BN=b，DM=a，最后，代入計算即可；
（2）依據圖形可知S△AMN=S△ABD-S△ABM-S△ADN，故此可得到S△AMN=c2-c（c-a）-c（c-b），最后進行整理即可；
（3）首先證明∠DMA=∠BAN，然后再由∠ABD=∠ADB=45°可得到△ADM∽△NBA，最后，依據相似三角形的性質列出比例式求解即可.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．