Question

【題目】將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖），其他條件不變.探究：線段MD、MF的關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析:根據觀察它們的關系可能是MD=MF,MD⊥MF,證明思路:可以通過構建三角形來證明,延長DM交CE于點N,連接FD,FN,根據等腰直角三角形的性質,我們可以通過證明三角形DFN為等腰直角三角形,M為其斜邊的中點來實現,那么要證明三角形DFN是個等腰直角三角形,且DM=MN,即要證明DF=FN,DM=MN, ∠DFN=90°,如果要證明DM=MN,那么可通過證明三角形ADM和MNE全等來實現,由于AD∥BE,那么∠1=∠2,M為AE中點,對頂角∠3=∠4,根據ASA可得出三角形ADM和MNE全等,那么可得出MN=DM,AD=NE,下一步證明三角形DCF和三角形FNE全等即可,由全等可得DF=FN, ∠5=∠6,根據同角的余角相等進行轉化可證∠5+∠CFN=90°,那么我們可得出三角形DFN是個等腰直角三角形,且M是斜邊DN的中點,因此可得出MD=MF, MD⊥MF.

試題解析:證法一:延長DM到N,使MN=MD,連接FD,FN,EN,延長EN與DC延長線交于點H.

∵MA=ME，∠1=∠2，MD=MN，

∴△AMD≌△EMN.

∴∠3=∠4，AD=NE.

又∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，

∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°,

∴DC=NE,

∵∠3=∠4，∴AD∥EH.

∴∠H=∠ADC=90°,

∵∠G=90°，∠5=∠6，∴∠7=∠8,

∵∠7＋∠DCF=∠8＋∠FEN=90°，

∴∠DCF=∠FEN.

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF.

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE.

∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°.

∴FM⊥MD，MF=MD.

證法二：如右圖，過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN.

∴∠ADC=∠H，∠3=∠4.∵AM=ME，∠1=∠2，

∴△AMD≌△EMN.

∴DM=NM，AD=EN.

∵正方形ABCD、CGEF，

∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°.

∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE.

∴∠DCF＋∠7=∠5＋∠7=90°.

∴∠DCF=∠5=∠NEF.

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF.

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE.∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°.

∴FM⊥MD，MF=MD.