Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與軸交于兩點與軸交于點，⊙的半徑為為⊙上一動點.

（1）點的坐標分別為（ ），（ ）；

（2）是否存在點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)連接，若為的中點，連接，則的最大值= .

Answer 1

【答案】（1）3，0；0，-4；（2）（-1，-2）或（（，），或（，--4）或（--，）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）在拋物線解析式中令y=0可求得B點坐標，令x=0可求得C點坐標；

（2）①當PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，根據勾股定理得到BC=5，BP2=2，過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，根據相似三角形的性質得到，設OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，-），過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，同理求得P1（-1，-2），②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；

（3）如圖2，當PB與⊙C相切時，OE的值最大，過E作EM⊥y軸于M，過P作PF⊥y軸于F，根據平行線等分線段定理得到ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，根據勾股定理即可得到結論．

試題解析：（1）在y=x2-4中，令y=0，則x=±3，令x=0，則y=-4，

∴B（3，0），C（0，-4）；

（2）存在點P，使得△PBC為直角三角形，

①當PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖（2）a，連接BC，

∵OB=3．OC=4，

∴BC=5，

∵CP2⊥BP2，CP2=，

∴BP2=2，

過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，則△CP2F∽△BP2E，四邊形OCP2B是矩形，

∴，

設OC=P2E=2x，CP2=OE=x，

∴BE=3-x，CF=2x-4，

∴，

∴x=，2x=，

∴FP2=，EP2=，

∴P2（，），

過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，

同理求得P1（-1，-2），

②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，過P4作P4H⊥y軸于H，則△BOC∽△CHP4，

∴，

∴CH=，P4H=，

∴P4（，--4）；

同理P3（-，）；

綜上所述：點P的坐標為：（-1，-2）或（（，），或（，--4）或（--，）；

（3）如圖（3），當PB與⊙C相切時，PB與y 軸的距離最大，OE的值最大，

∵過E作EM⊥y軸于M，過P作PF⊥y軸于F，

∴OB∥EM∥PF，

∵E為PB的中點，

∴ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，

∴OE=．