Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0）

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）該拋物線有一點D（x，y），使得S△ABC＝S△DBC，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝，x＝3；（2）P（3，）；（3）D的坐標(biāo)為（6，4）．

【解析】

（1）因為拋物線經(jīng)過點B（1，0），C（5，0），可以假設(shè)拋物解析式為y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解決問題，對稱軸根據(jù)圖象即可解決．

（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P，此時△PAB周長最小．求出直線AC的解析式即可解決問題；

（3）根據(jù)面積相等且底邊相等的三角形的高也應(yīng)該相等得出D的縱坐標(biāo)為±4，代入拋物線的解析式即可求得．

（1）∵拋物線經(jīng)過點B（1，0），C（5，0），

∴可以假設(shè)拋物解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣5），把A（0，4）代入得4＝5a，

∴a＝，

∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4．

拋物線對稱軸x＝＝3．

（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P，此時△PAB周長最小．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，

∵A（0，4），C（5，0），

∴，

解得，

∴直線AC解析式為y＝﹣x+4，

把x＝3代入得，y＝，

∴交點P為（3，）；

（3）根據(jù)題意得D的縱坐標(biāo)為±4，

把y＝4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣x+4＝4，

解得x＝0或6，

把y＝﹣4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣6x+10＝0，

∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×10＜0，

∴無解，

(0,4)為A點(舍)，D的坐標(biāo)為（6，4）．