Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸，y軸的正半軸上（OA＜OB），且OA，OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個根，線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，分別交x軸，y軸于點D，E．

（1）直接寫出點A、B的坐標：A ， B；
（2）求線段AD的長；
（3）已知P是直線CD上一個動點，點Q是直線AB上一個動點，則在坐標平面內是否存在點M，使得以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是以5為邊長的正方形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（6，0）；（0，8）
（2）

解：在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，

∴AB= =10，

∵線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，

∴AC= AB=5．

在△ACD與△AOB中，

∵∠CAD=∠OAB，∠ACD=∠AOB=90°，

∴△ACD∽△AOB，

∴ = ，即 = ，

解得AD= ，

∵A（6，0），點D在x軸上，

∴D（﹣ ，0）．

設直線CD的解析式為y=kx+b，

由題意知C為AB中點，

∴C（3，4），

∵D（﹣ ，0），

∴ ，解得 ，

∴直線CD的解析式為y= x+ ；

（3）

解：在坐標平面內存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為5，

∵AC=BC= AB=5，

∴以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5，且點Q與點B或點A重合．分兩種情況：

① 當點Q與點B重合時，易求BM的解析式為y= x+8，設M（x， x+8），

∵B（0，8），BM=5，

∴（ x+8﹣8）2+x2=52，

化簡整理，得x2=16，

解得x=±4，

∴M2（4，11），M3（﹣4，5）；

②當點Q與點A重合時，易求AM的解析式為y= x﹣ ，

設M（x， x﹣ ），

∵A（6，0），AM=5，

∴（ x﹣ ）2+（x﹣6）2=52，

化簡整理，得x2﹣12x+20=0，

解得x1=2，x2=10，

∴M4（2，﹣3），M1（10，3）；

綜上所述，所求點M的坐標為M1（10，3），M2（4，11），M3（﹣4，5），M4（2，﹣3）．

【解析】解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，
得x1=6，x2=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
所以答案是（6，0），（0，8）．
【考點精析】掌握相似三角形的判定是解答本題的根本，需要知道相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．