Question

（2013年四川綿陽12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE．

（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若E是的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）CD與⊙O相切。理由如下：

∵AC為∠DAB的平分線，∴∠DAC=∠BAC。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。，∴∠DAC=∠OCA。

∴OC∥AD。

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD。

∵OC是⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切。

（2）如圖，連接EB，由AB為直徑，得到∠AEB=90°，

∴EB∥CD，F為EB的中點。∴OF為△ABE的中位線。

∴OF=AE=，即CF=DE=。

在Rt△OBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC=。

∵E是的中點，∴=，∴AE=EC。∴S_弓形AE=S_弓形EC。

∴S_陰影=S_△DEC=××=。

【解析】（1）CD與圓O相切，理由為：由AC為角平分線得到一對角相等，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得證。

（2）根據E為弧AC的中點，得到弧AE=弧EC，利用等弧對等弦得到AE=EC，可得出弓形AE與弓形EC面積相等，陰影部分面積拼接為直角三角形DEC的面積，求出即可。

考點：角平分線定義，等腰三角形的性質，平行的判定和性質，切線的判定，圓周角定理，三角形中位線定理，勾股定理，扇形面積的計算，轉換思想的應用。