Question

【題目】如圖所示，點P位于等邊△ABC的內部，且∠ACP=∠CBP．

(1)延長BP至點D，使得PD=PC，連接AD，CD．

①依題意，補全圖形；

②證明：AD+CD=BD；

(2)在(1)的條件下，若BD的長為2，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）

【解析】

（1）①利用延長線作法得出D點位置，并連接AD，CD．

②先證明△CDP是等邊三角形，再證明∠DCA≌△PCB，然后利用全等三角形的性質解答即可；

（2）作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N，由銳角三角函數的知識得CM=CDsin60°，AN=ADsin60°，然后根據S四邊形ABCD=S△BDC+S△BDA計算即可．

解：（1）①如圖所示，

②證明：：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠PCA+∠PCB=60°，

∵∠PCA=∠CBP，

∴∠PCB+∠PBC=60°，

∴∠BPC=180°-60°=120°，

∵∠CPD=180°-∠BPC=60°，PD=PC，

∴△CDP是等邊三角形，

∴CD=CP，∠DCP=∠ACB=60°，

∴∠DCA=∠PCB，

∴△DCA≌△PCB(SAS)，

∴AD=PB，

∴BD=PB+PD=AD+DC；

（2）如圖，作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N．

∵△DCA≌△PCB，

∴∠ADC=∠BPC=120°，

∴∠ADP=60°，

∴CM=CDsin60°，AN=ADsin60°，

∴S四邊形ABCD=S△BDC+S△BDA

=BDCM+BDAN

=BDsin60°(CD+AD)

=×2××2=．