Question

（2012•鼓樓區(qū)一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為30cm，∠A=120°．點(diǎn)P沿折線A-B-C-D運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿折線A-D-C-B運(yùn)動(dòng)，速度為1.5cm/s．當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．
（1）設(shè)△APQ面積為s cm²，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）作菱形ABCD的高線AH；利用菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值求得AH=15

3

；需要對(duì)點(diǎn)P、Q的位置進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別位于AB、AD邊上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P、Q分別位于AB、CD邊上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)P、Q分別位于BC、CD邊上時(shí)；④當(dāng)點(diǎn)P、Q都在BC邊上時(shí)（BP＜BQ）；⑤當(dāng)點(diǎn)P、Q都在BC邊上時(shí)（BP＞BQ）；
（2）要解答本題，要分情況進(jìn)行討論．①當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在CD上，AP=AQ時(shí)，求此時(shí)t的值；②當(dāng)P點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在CD上，AP=AQ時(shí)，求此時(shí)t的值；③當(dāng)P點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在BC上，AP=AQ時(shí)，求此時(shí)的t的值．

解答：解：（1）作AH⊥CD于點(diǎn)H，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為30cm，∠A=120°，
∴∠D=60°，
∴∠HAD=30°，HD=

1

2

AD=15cm，
∴AH=15

3

cm，
即菱形ABCD的高為15

3

cm，
分五種情況：
①如圖1，延長(zhǎng)BA過點(diǎn)Q做QN⊥BA于點(diǎn)N，
∵點(diǎn)P沿折線A-B-C-D運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿折線A-D-C-B運(yùn)動(dòng)，速度為1.5cm/s．
∴當(dāng)0≤t≤20時(shí)，AQ=1.5t，∠NAQ=60°，
∴QN=

3 3

4

t，
∴s=

1

2

PA•QN=

1

2

t•

3 3

4

t=

3 3

8

t ²．

②如圖2，當(dāng)20＜t≤30時(shí)，
s=

1

2

t•15

3

=

15 3

2

t． 

③如圖3，當(dāng)30＜t≤40時(shí)，
s=-

3

8

3

t ²+

75 3

4

t．

④如圖4，當(dāng)40＜t≤48時(shí)，
s=-

75

4

3

t+900

3

． 

⑤如圖5，當(dāng)48＜t≤60時(shí)，
s=

75

4

3

t-900

3

．

（2）當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在CD上，AP=AQ時(shí)，t=54-6

21

；
當(dāng)P點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在CD上，AP=AQ時(shí)，t=36；
當(dāng)P點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在BC上，AP=AQ時(shí)，t=60．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算和一次函數(shù)和二次函數(shù)的問題，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，分類思想同學(xué)們應(yīng)熟練掌握并應(yīng)用．