Question

【題目】在平面直角坐標系中，兩個形狀、大小完全相同的三角板OBC，DEF，按如圖所示的位置擺放，O為原點，點B(12，0) ，點B與點D重合，邊OB與邊DE都在x軸上．其中，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°．

（1）如圖①，求點C坐標；

（2）現固定三角板DEF，將三角板OBC沿x軸正方向平移，得到△O′B′C′ ，當點O′ 落點D上時停止運動．設三角板平移的距離為x，兩個三角板重疊部分的面積為y．求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）條件下，設邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N．直接寫出在三角板平移過程中，當點M與點N之間的距離最小時，點M的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）C (3 ,)；（2） ；（3）M

【解析】

（1）過點C作CG⊥AB于G點，根據B(12，0) ，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°，得OB=12， OC=6．根據OG=OCcos60°，CG=OCsin60°求出結果即可得到坐標；

（2）分類討論：①當時，②當時，根據三角形的面積公式，列出方程可得答案；

（3）根據點與直線上所有點的連線中垂線段最短，點在上時最短，根據三角形的中位線，可得，的長，根據線段的和差，可得點M的坐標．

解：（1）如圖①所示：過點C作CG⊥AB于G點．

∵B(12，0) ，得OB=12，

在Rt△OBC中，由OB=12，∠OBC=30°，得OC=6．

∴∠COB=60°

在Rt△OCG中，OG=OCcos60°=3．

∴CG=OCsin60°=．

∴C (3 ,).

（2）①當0≤x＜6時，如圖②所示．

∠GDE=60°，∠GB′D=30°，DB′=x，得

DG=，B′G=，重疊部分的面積為

y=DGB′G=x=

②當6≤x≤12時，如圖③所示．

B′D=x，DG=x，B′G=，B′E=x﹣6，

EH=．

重疊部分的面積為y=S△B′DG﹣S△B′EH=DGB′G﹣B′EEH，

即y=x-

化簡，得y=；

綜上所述： ；

（3）如圖5所示，作于點，

點在上時最短，

∵是的中位線，

∴，，

∴，

∴M點坐標為：．