Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點O在AB上，BC=CD，過點C作⊙O的切線，分別交AB，AD的延長線于點E，F．

（1）求證：AF⊥EF；（2）若cosA=，BE=1，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）略；（2）.

【解析】

（1）連接AC，OC，如圖，先證明OC∥AF，再根據切線的性質得OC⊥EF，從而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，設OC＝r，利用余弦的定義得到，解得r＝4，連接BD，如圖，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，然后根據余弦的定義可計算出AD的長．

解：（1）連接AC，OC，如圖，

∵CD＝BC，

∴，

∴∠1＝∠2，

∵OA＝OC，

∴∠2＝∠OCA，

∴∠1＝∠OCA，

∴OC∥AF，

∵EF為切線，

∴OC⊥EF，

∴AF⊥EF；

（2）∵OC∥AF，

∴∠COE＝∠DAB，

在Rt△OCE中，設OC＝r，

∵cos∠COE＝cos∠DAB＝，即，

解得r＝4，

連接BD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△ADB中，cos∠DAB＝，

∴AD＝×8＝．