Question

（1998•南京）已知：拋物線y=x²-（m²+5）x+2m²+6．
（1）求證：不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，并且有一個(gè)交點(diǎn)是A（2，0）；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，AB的長(zhǎng)為d，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)d=10，P（a，b）為拋物線上一點(diǎn)．
①當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求b的值；
②當(dāng)△ABP是銳角三角形、鈍角三角形時(shí)，分別寫出b的取值范圍（第②題不要求寫出解答過程）．

Answer 1

分析：（1）令拋物線中y=0，即可用十字相乘法求得兩根的值，由此可得證．
（2）在（1）中已經(jīng)求得了兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出AB的距離．
（3）①根據(jù)d的長(zhǎng)以及（2）中得出的d的表達(dá)式可確定出拋物線的解析式，也就能得出A、B的坐標(biāo)．可以AB為直徑作圓，圓與拋物線有交點(diǎn)，說明拋物線上存在符合條件的P點(diǎn)，可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式表示出縱坐標(biāo)），在直角三角形ABP中，∠APB=90°，如果過P作PQ⊥x軸于Q，那么根據(jù)射影定理可得出PQ²=AQ•QB，由此可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，確定出b的值；
②根據(jù)圖形與①求出的b值，即可分別確定出當(dāng)△ABP是銳角三角形、鈍角三角形時(shí)b的取值范圍．

解答：解：（1）令y=0，得x²-（m²+5）x+2m²+6=0，
即（x-2）（x-m²-3）=0，
解得：x₁=2，x₂=m²+3，
∴一定有交點(diǎn)A（2，0），B（m²+3，0）
∴結(jié)論得證；

（2）∵A（2，0），B（m²+3，0）
∴d=AB=m²+1；

（3）①d=AB=m²+1=10，
∴y=x²-14x+24，
∴A（2，0），B（12，0）
以AB為直徑畫圓，由圖可知與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴存在這樣的點(diǎn)P，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x²-14x+24），作P₁Q⊥橫軸于Q，則點(diǎn)Q（x，0），
易得△AQP∽△PQB，
∴

AQ

QP

=

PQ

QB

，
∴PQ²=AQ•BQ=（x-2）（12-x）=（x²-14x+24）²，
即（x-2）（12-x）=（x-2）²（x-12）²，（x-2）（x-12）≠0，
∴解得x=7±2

6

，
∴點(diǎn)P為（7+2

6

，-1），或（7-2

6

，-1），
則b=-1；
②當(dāng)△ABP是銳角三角形時(shí)，b＜-1；當(dāng)△ABP為鈍角三角形時(shí)，b＞-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、直角三角形的判定等知識(shí)．綜合性較強(qiáng)，難度適中．