Question

27、如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．容易證得：CE=CF；
（1）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，試猜想GE、BE、GD三線段之間的關系，并證明你的結論；
（2）在（1）的條件下，若以C為圓心，CD為半徑作圓，試判斷此圓與直線EG的位置關系，并說明理由；
（3）運用（1）中解答所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，再根據△EBC≌△FDC，得出∠ECG=∠FCG，然后證出△ECG≌△FCG，即可得出結論．
（2）根據切線的性質定理解答即可．
（3）作出輔助線DF，根據三角形面積公式列等式即可求出DF的長，再利用勾股定理解答即可．

解答：
解：（1）∵DF=BE，∠FDC=∠EBC，BC=DC，
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，所以∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
于是有GC=GC，
∠ECG=∠FCG，
CF=CE，
于是△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）作CG⊥EG，
因為△ECG≌△FCG，
故其對應高相等，
于是CD=CG，
以C為圓心，CD為半徑作圓，則該圓經過點G，
于是可知EG為圓的切線．

（3）過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCG為正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根據（1）（2）可知，ED=BE+DG，
設DE=x，則DG=x-4，
∴AD=16-x．
在Rt△AED中
∵DE²=AD²+AE²，即x²=（16-x）²+8²
解得：x=10．
∴DE=10．

點評：此題考查了全等三角形的判定性質和正方形的性質．此題難度較大，解答時要注意，（1）（2）（3）題的梯度是由難到易，且前一題為后面的題提供思路．