Question

【題目】如圖所示,將矩形OABC置于平面直角坐標系中,點A,C分別在x,y軸的正半軸上,已知點B(4,2),將矩形OABC翻折,使得點C的對應點P恰好落在線段OA(包括端點O,A)上,折痕所在直線分別交BC、OA于點D、E；若點P在線段OA上運動時,過點P作OA的垂線交折痕所在直線于點Q.

（1）求證：CQ=QP

（2）設點Q的坐標為(x,y),求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍;

（3）如圖2,連結OQ,OB,當點P在線段OA上運動時,設三角形OBQ的面積為S,當x取何值時,S取得最小值,并求出最小值；

Answer 1

【答案】（1）CQ=PQ（2） （3）

【解析】試題分析：（1）由CD=PD,∠CDE=∠PDE得到∠CDQ=∠PDQ，再加上DQ=DQ可得△CDQ≌△PDQ，所以得CQ=PQ；（2）由Q(x,y) ，則CQ=PQ=y，設QP交BC于H,則QH=y-2,CH=x，由勾股定理，得，所以；（3）設直線OB與直線PQ相交于點G(x，y)，則，所以，所以，即當x=1時，S有最小值為；

試題解析：

（1）由已知易得CD=PD,∠CDE=∠PDE

∴ ∠CDQ=∠PDQ

又∵DQ=DQ

∴△CDQ≌△PDQ

得CQ=PQ

（2）∵Q(x,y)

CQ=PQ=y

設QP交BC于H,則QH=y-2,CH=x，由勾股定理，得

（3）設直線OB與直線PQ相交于點G(x，y)，則易得

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