Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．

（1）求的值，并將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式；

（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．求證：以為圓心，為半徑的圓與直線相切；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作直線，與拋物線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法可求出b、c的值，再將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式即可；

（2）如圖（見解析），由（1）可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得，然后根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證；

（3）如圖（見解析），先根據(jù)正弦三角函數(shù)求出，從而可得，再利用正切三角函數(shù)可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可得；由根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)B關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)也滿足題設(shè)條件，利用同樣的方法求解即可得另一條符合要求的直線BF的解析式．

（1）由題意，將點(diǎn)，代入拋物線解析式得：

解得：

則；

（2）過點(diǎn)作垂直于直線，垂足

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為

則

∴，即

∴是圓A的半徑

∴以為圓心，為半徑的圓與直線相切；

（3）如圖，過點(diǎn)、分別作直線的垂線，垂足分別為、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形CEDP是矩形

，軸

設(shè)，則

同（2）可得：，

∴，

在中，

∴

設(shè)直線BF與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)N

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，

軸

在中，，即

解得，即點(diǎn)H的坐標(biāo)為

設(shè)直線BF的解析式為

將點(diǎn)、代入得：，解得

則此時(shí)直線的解析式為

二次函數(shù)的對(duì)稱軸為

點(diǎn)在這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上

則由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，圖中點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸為的對(duì)稱點(diǎn)也一定在拋物線上，且滿足

同理可得：此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為

設(shè)直線BF的解析式為

將點(diǎn)、代入得：，解得

則此時(shí)直線的解析式為

綜上，直線的解析式為或．