Question

如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A?B?C?D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；
（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；
（3）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A?B?C?D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，求出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）（1，0），1；（2）10，（14，12）；（3）t=或t=.

解析試題分析：（1）根據題意，易得Q（1，0），結合P、Q得運動方向、軌跡，分析可得答案；
（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4，在Rt△AFB中，過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H，易得△ABF≌△BCH，進而可得C得坐標；
（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，易得△APM∽△ABF，根據相似三角形的性質，有，設△OPQ的面積為S，計算可得答案．
試題解析：（1）根據題意，易得Q（1，0），
點P運動速度每秒鐘1個單位長度．
（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，
過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H．

∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC
∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∠FAB=∠CBH
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
∴AB=
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C點的坐標為（14，12）．
（3）當t=或t=時，OP與PQ相等.
考點: 相似三角形的判定與性質；二次函數的最值；全等三角形的判定與性質．