Question

【題目】如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，則結論：①PA平分∠RPS；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.其中正確的有（ ）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】B

【解析】根據已知條件利用HL易證△APR≌△APS，再利用全等三角形的性質可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，從而可證（1）、（2）正確；由AQ=PQ，利用等邊對等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性質可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分線可得∠BAC=2∠1，等量代換，從而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等兩直線平行可得QP∥AR，（3）正確；根據已知條件可知△BRP與△CSP只有一角、一邊對應相等，故不能證明兩三角形全等，因此（4）不正確．
解：（1）PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；

（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；

（3）如圖所示

∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；

（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等與△CSP（只具備一角一邊的兩三角形不一定全等）．故選B．
“點睛“本題考查了全等三角形的判定和性質；做題時利用了平行線的判定、等邊對等角、三角形外角的性質，要熟練掌握這些知識并能靈活應用．