Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動點（不與點B、C重合），在AD的右側作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）求證：∠ABC=∠ACB；

（2）當D在線段BC上時，

①求證：△BAD≌△CAE；②當點D運動到何處時，AC⊥DE，并說明理由；

（3）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數．（直接寫出結果，無需寫出求解過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②D運動到BC中點（H點）時，AC⊥DE，理由見解析；（3）20°或40°或100°

【解析】

（1）證明Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），即可解決問題．
（2）①根據SAS即可證明；②D運動到BC中點（H點）時，AC⊥DE；利用等腰三角形的三線合一即可證明；
（3）分三種情形分別求解即可解決問題；

解：（1）∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△AHB和Rt△ACH中，

∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），
∴∠ABC=∠ACB．
（2）①如圖1中，

∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE．
②D運動到BC中點（H點）時，AC⊥DE；
理由：如圖2中，∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAH=∠CAH，
∵∠BAH=∠CAE，
∴∠CAH=∠CAE，
∵AH=AE，
∴AC⊥DE．

（3）∠ADB的度數為20°或40°或100°．
理由：①如圖3中，當點D在CB的延長線上時，

∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°

∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．
②當點D在線段BC上時，最小角只能是∠DAB=20°，此時∠ADB=180°-20°-60°=100°．
③當點D在BC 延長線上時，最小角只能是∠ADB=20°，
綜上所述，滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°．