Question

【題目】如圖1，一張△ABC紙片，點(diǎn)M、N分別是AC、BC上兩點(diǎn)．（均只需寫(xiě)出結(jié)論即可）

（1）若沿直線MN折疊，使C點(diǎn)落在BN上，則∠AMC′與∠ACB的數(shù)量關(guān)系是　 　 　．

（2）若折成圖2的形狀，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的數(shù)量關(guān)系是　 　．

（3）若折成圖3的形狀，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的數(shù)量關(guān)系是　 　．

（4）將上述問(wèn)題推廣，如圖4，將四邊形ABCD紙片沿MN折疊，使點(diǎn)C、D落在四邊形ABNM的內(nèi)部時(shí)，∠AMD′+∠BNC′與∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系是　 　　　　　．

Answer 1

【答案】(1) ∠AMC′＝2∠ACB；（2）∠AMC′＋∠BNC′＝2∠ACB；（3）∠AMC′－∠BNC′＝2∠ACB；　　（4）∠AMD′+∠BNC′＝2(∠C＋∠D－180°).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形的外角定理得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)折疊得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由兩個(gè)平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°與四個(gè)折疊角的差，化簡(jiǎn)為結(jié)果；

（3）利用兩次外角定理得出結(jié)論；

（4）與（2）類(lèi)似，先由折疊得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由兩平角的和為360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得：∠DMN+∠CNM=360°﹣∠C﹣∠D，代入前式可得結(jié)論．

試題解析：解：（1）由折疊得：∠ACB=∠MC′C，∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，∴∠AMC′=2∠ACB；

故答案為：∠AMC′=2∠ACB；

（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由是：

由折疊得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，∵∠CMA+∠CNB=360°，∴∠AMC′+∠′BNC′=360°﹣∠CMN﹣∠C′MN﹣∠CNM﹣∠C′NM=360°﹣2∠CMN﹣2∠CNM，∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）=2∠ACB；

（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，∵∠C=∠C′，∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，∴∠AMC′﹣∠BNC′=2∠ACB；

（4）由折疊得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，∵∠DMA+∠CNB=360°，∴∠AMD′+∠BNC′=360°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，∵∠DMN+∠CNM=360°﹣∠C﹣∠D，∴∠AMD′+∠BNC′=360°﹣2（360°﹣∠C﹣∠D）=2（∠C+∠D-180°），故答案為：∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D﹣180°）．