Question

如圖所示，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，無限重復同一過程，第一個正方形的邊長為1，第一個正方形與第一個等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和為S₂，…，第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和為S_n．
（1）計算S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）總結出S_n與S_n-1的關系，并猜想出S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n與n的關系．

Answer 1

分析：根據正方形邊長相等和等腰三角形中腰長為斜邊長的

2

2

求解，根據題目給出的信息，我們可以發現等腰三角形和正方形的面積和成一個等比數列，即S_n=

1

2

s_n-1．

解答：解：下一個正方形面積為上一個正方形面積的

1

2

，下一個等腰直角三角形面積為上一個等腰直角三角形面積的

1

2

，
（1）S₁=1×1+

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

4

，
∴S₂=

1

2

+

1

2

×

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

8

，
S₃=

5

16

，
S₄=

5

32

．

（2）根據（1）的求解，總結規律：S_n=

1

2

S_n-1，
計算得S₁+S₂=

15

8

=

5×3

8

，
S₁+S₂+S₃=

35

16

=

5×7

16

，
S₁+S₂+S₃+S₄=

175

32

=

5×15

32

，
猜測S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n=

5×(2n-1)

2n+1

．

點評：本題考查了正方形面積的計算，考查了已知斜邊等腰直角三角形面積的計算，本題中，發現新的一組正方形等腰直角三角形面積和與上一組正方形等腰直角三角形面積和的關系是解題的關鍵．