Question

已知拋物線的解析式為
（1）求證：不論m為何值，此拋物線與x軸必有兩個交點，且兩交點A、B之間的距離為定值；
（2）設點P為此拋物線上一點，若△PAB的面積為8，求符合條件的點P的坐標；
（3）若（2）中△PAB的面積為S（S>0），試根據面積S值的變化情況，確定符合條件的點P的個數（本小題直接寫出結論，不要求寫出計算、證明過程）.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）（m，4）或(，?4)或（，-4）；（3）當s=8時，符合條件的點P有3個，當0＜s＜8時，符合條件的點P有4個，當s＞8時，符合條件的點P有2個．

解析試題分析：（1）本題需先求出△的值，再證出△＞0，再設出A、B的坐標，然后代入公式即可求出AB的長；
（2）本題需先設出P的坐標，再由題意得出b的值，然后即可求出符合條件的所有點P的坐標；
（3）本題需分當s=8時，當0＜s＜8時，當s＞8時三種情況進行討論，即可得出符合條件的點P的個數．
試題解析：：（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個交點．
設A（x₁，0），B（x₂，0），
則（定值）.
（2）設P（a，b），則由題意b=-a²+2am+4-m²，且，
解得b=±4．
當b=4時得：a=m，即P（m，4）；
當b=-4時得：，即P(，?4)或P（，-4）.
綜上所述，符合條件的點P的坐標為（m，4）或(，?4)或（，-4）.
（3）由（2）知當s=8時，符合條件的點P有3個，當0＜s＜8時，符合條件的點P有4個，當s＞8時，符合條件的點P有2個．
考點：1.二次函數的和性質；2.曲線上點的坐標與方程的關系；3.分類思想的應用.