Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉°（0°＜＜180°），分別交直線BC、AD于點E、F．

（1）當=_____°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）在旋轉的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意4個點為頂點構造四邊形，

①當=_______°時，構造的四邊形是菱形；

②若構造的四邊形是矩形，求該矩形的兩邊長．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）①45或90；②和；和

【解析】

（1）根據平行四邊形的判斷方法即可解決問題；
（2）①分兩種情形分別解決問題即可；
②分兩種情形討論求解即可；

解：（1）當α＝90°，四邊形ABEF是平行四邊形；
理由：∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝∠AOF＝90°，
∴AB∥EF，

∵平行四邊形ABCD
∴AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
故答案為：90°．
（2）①當α＝45°或90°時，四邊形BEDF是菱形．

當α＝45°時
∵AD∥BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵∠FOD＝∠BOE，OD＝OB，
∴△FDO≌△EBO，
∴DF＝BE，

∵DF∥BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵OA＝OC＝2，AB＝2，
∴AB＝OA，
∴∠AOB＝45°，
∴∠BOF＝45°＋45°＝90°，
∴BD⊥EF，
∴四邊形BEDF是菱形．
當α＝90°時，同法可證四邊形AFCE是菱形．

故答案為：45°或90°．
②∵AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝2，

當EF＝AC時，四邊形AECF是矩形，對角線AC＝4，過A點作AE⊥BC于BC,過點C作CF⊥AD于F，如圖1，

∴△AEB∽△BAC

∴

∴AE2+BE2=AB2

∴BE=，AE=

∴EC=BC-BE=

過B作BF⊥AD于F，過D作DE⊥BC于E，

此時四邊形BEDF是矩形，EF＝BD，如圖2

同理可得：DA=BC=2，AF=，BF =，

∴BE=DF＝DA+FA=

矩形的邊長為：和或和

故答案為：和或和