Question

閱讀下列材料，并解決后面給出的問題
例．給定二次函數y=（x-1）²+1，當t≤x≤t+1時，求y的函數值的最小值．
解：函數y=（x-1）²+1，其對稱軸方程為x=1，頂點坐標為（1，1），圖象開口向上．下面分類討論：

（1）如圖1所示，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+1左側時，即有1＜t．此時y隨x的增大而增大，當x=t時，函數取得最小值，y最小值=(t-1)2+1；
（2）如圖2所示，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+1內時，即有t≤1≤t+1，解這個不等式，即0≤t≤1．此時當x=1時，函數取得最小值，y_最小值=1；
（3）如圖3所示，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+1右側時，有t+1＜1，解不等式即得t＜0．此時Y隨X的增大而減小，當x=t+1時，函數取得最小值，y最小值=t2+1
綜上討論，當1＜t時，函數取得最小值，y最小值=(t-1)2+1．
此時當0≤t≤1時，函數取得最小值，y_最小值=1．
當t＜0時，函數取得最小值，y最小值=t2+1
根據上述材料，完成下列問題：
問題：求函數y=x²+2x+3在t≤x≤t+2時的最小值．

Answer 1

分析：結合二次函數圖形以及利用頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+2右側時以及頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+2內時和頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+2左側時，分別結合二次函數增減性求出最值即可．

解答：解：y=x²+2x+3=（x+1）²+2，分類討論：
（1）如圖1，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+2右側時，有t≤-3，此時y隨x的增大而減小，

∴當x=t+2時，函數取得最小值，y_最小值=（t+2）²+2（t+2）+3=t²+6t+11；

（2）如圖2，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+2內時，即有t≤-1≤t+2，
解這個不等式，即-3≤t≤-1．此時當x=-1時，函數取得最小值，y_最小值=2；

（3）如圖3，若頂點橫坐標在范圍t≤x≤t+2左側時，即t≥-1時，y隨x的增大而增大，
∵t≤x≤t+2，當x=t時，函數取得最小值，y_最小值=t²+2t+3，
綜上討論，當t≤-3時，函數取得最小值，y最小值=t2+6t+11，
此時當-3≤t≤-1時，函數取得最小值為：y_最小值=2，
當t≥-1時，函數取得最小值為：y最小值=t2+2t+3．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及二次函數的增減性等知識，利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵．