Question

【題目】九年級某班數學興趣小組經過市場調查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數）的售價與銷售量的相關信息如下．已知商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）．

時間x（天）	1	30	60	90
每天銷售量p（件）	198	140	80	20

（1）求出w與x的函數關系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．

【解析】試題分析：（1）當1≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數法即可求出此時y關于x的函數關系式，根據圖形可得出當50≤x≤90時，y=90．再結合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n，套入數據利用待定系數法即可求出p關于x的函數關系式，根據銷售利潤=單件利潤×銷售數量即可得出w關于x的函數關系式；

（2）根據w關于x的函數關系式，分段考慮其最值問題．當1≤x≤50時，結合二次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值；當50≤x≤90時，根據一次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結論；

（3）令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論．

試題解析：（1）當1≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b（k、b為常數且k≠0），

∵y=kx+b經過點（0，40）、（50，90），

∴，解得，

∴售價y與時間x的函數關系式為y=x+40；

當50≤x≤90時，y=90．

∴售價y與時間x的函數關系式為y=．

由數據可知每天的銷售量p與時間x成一次函數關系，

設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n（m、n為常數，且m≠0），

∵p=mx+n過點（60，80）、（30，140），

∴，解得： ，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x為整數），

當1≤x≤50時，w=（y﹣30）p=（x +40﹣30）（﹣2 x +200）=﹣2 x 2+180 x +2000；

當50≤x≤90時，w=（90﹣30）（﹣2 x +200）=﹣120 x +12000．

綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數關系式是w= ．

（2）當1≤x≤50時，w=﹣2 x 2+180 x +2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，

∴當x =45時，w取最大值，最大值為6050元．

當50≤x≤90時，w=﹣120 x +12000，

∵k=﹣120＜0，w隨x增大而減小，

∴當x =50時，w取最大值，最大值為6000元．

∵6050＞6000，

∴當x =45時，w最大，最大值為6050元．

即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元．

（3）當1≤x≤50時，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

解得：30≤x≤50，

50﹣30+1=21（天）；

當50≤x≤90時，令w=﹣120 x +12000≥5600，即﹣120 x +6400≥0，

解得：50≤x≤53，

∵x為整數，

∴50≤x≤53，

53﹣50+1=4（天）．

綜上可知：21+4﹣1=24（天），

故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．