Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，點P，Q，M，N分別從點A，B，C，D出發沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，四個點的運動均停止．已知在相同時間內，若BQ＝x cm(x≠0)，則AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm.

(1)當x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊能構成一個三角形？

(2)當x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）－1；（2）當x＝2或4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

（1）以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形的必須條件是點P、N重合且點Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者點Q、M重合且點P、N不重合，此時AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根據這兩種情況來求解x的值．

（2）以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點Q只能在點M的左側．當點P在點N的左側時，AP=MC，BQ=ND；當點P在點N的右側時，AN=MC，BQ=PD．所以可以根據這些條件列出方程，解方程即可．

（1）當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構成一個三角形．

①當點P與點N重合時，由x2+2x=20，得x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去）．

因為BQ+CM=x+3x=4（﹣1）＜20，此時點Q與點M不重合．

所以x=﹣1符合題意．

②當點Q與點M重合時，由x+3x=20，得x=5．

此時DN=x2=25＞20，不符合題意．

故點Q與點M不能重合．

所以所求x的值為﹣1．

（2）由（1）知，點Q只能在點M的左側，

①當點P在點N的左側時，

由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），

解得：x1=0（舍去），x2=2．

當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．

②當點P在點N的右側時，

由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，

解得：x1=﹣10（舍去），x2=4．

當x=4時四邊形NQMP是平行四邊形．

所以當x=2或x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．