Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=﹣2x2+4x+m+1，與x軸的公共點(diǎn)為A，B．

（1）如果A與B重合，求m的值；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)：

①當(dāng)m=﹣1時(shí)，求線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

②若設(shè)拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，當(dāng)1＜n≤8時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-3（2）①當(dāng)m=﹣1時(shí)，線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)②﹣3＜m≤0

【解析】

（1）當(dāng)A、B重合時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)△=0，從可求出m的值．

（2）①m=﹣1代入拋物線解析式，然后求出該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出線段AB上的整點(diǎn)個(gè)數(shù).

②由圖象可得，即可求出m的取值范圍．

（1）∵A與B重合，

∴二次函數(shù)y=﹣2x2+4x+m+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程﹣2x2+4x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=42+4×2（m+1）=24+8m=0，

解得：m=﹣3．

∴如果A與B重合，m的值為-3．

（2）①當(dāng)m=﹣1時(shí)，原二次函數(shù)為y=﹣2x2+4x+m+1=﹣2x2+4x，

令y=﹣2x2+4x=0，則x1=0，x2=2，

∴線段AB上的整點(diǎn)有（2，0）、（1，0）和（0，0）．

故當(dāng)m=﹣1時(shí)，線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)．

②二次函數(shù),

當(dāng)時(shí)，

由點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）如圖：

當(dāng)時(shí)，

∴

∴.