Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動,設移動的時間為ts.

（1）如果P、Q分別從A、B同時出發,若t=3s,求四邊形APQC的面積.

（2）如果P、Q分別從A、B同時出發,當△PBQ的面積等于8cm2時，求t的值.

（3）若△ABC與△BPQ相似，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）15；（2）當△PBQ的面積為8cm2時，t的值為2或4；（3）若△PBQ與△ABC相似，t的值為2.4或.

【解析】

（1）t=3s時，求出BP、BQ的長，然后再根據四邊形APQC的面積=SRt△ABC-SRt△BPQ即可解答；（2）用含t的式子將BP和BQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；（3）因為經過t秒，△PBQ與△ABC相似，則AP=tcm，BP=6-t（cm），BQ=2tcm，然后分別從若△PBQ∽△ABC與若△PBQ∽△CBA去分析，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；

（1）t=3s時，AP=3×1=3，BP=6-3=3，BQ=2×3=6，

S四邊形APQC =SRt△ABC-SRt△BPQ=×6×8- ×3×6=15；

（2）由題意得，BP=6﹣t，BQ=2t，

∵∠B=90°，△PBQ的面積為8cm2,

∴BP×BQ=8，

∴×（6﹣t）×2t=8，

∴t1=2，t2=4，

答：當△PBQ的面積為8cm2時，t的值為2或4.

（3）解：∵∠B=∠B，△PBQ與△ABC相似，

∴分兩種情況，

第一種情況：當 BP：BA=BQ：BC時，△PBQ∽△ABC，

∴（6﹣t）：6=2t：8，解得：t=2.4，

第二種情況：當 BP：BC=BQ：BA時，△PBQ∽△CBA，

∴（6﹣t）：8=2t：6，解得：t=，

答：若△PBQ與△ABC相似，t的值為2.4或.