Question

根據下圖解答下列各題．
（1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，ME和NF分別垂直平分AB和AC，求∠MAN的度數；
（2）在（1）中，若無AB=AC的條件，你還能求出∠MAN的度數嗎？若能，請求出；若不能，請說明理由；
（3）在（2）的情況下，若BC=10cm，試求出△AMN的周長．

Answer 1

解：（1）∵ME垂直平分AB
∴MA=MB
∴∠B=∠BAM
同理：NA=NC，∠C=∠NAC
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°
∴∠B+∠C=80°
∴∠BAM+∠NAC=80°
∴∠MAN=∠BAC-（∠BAM+∠NAC）=100°-80°=20°；

（2）能，∠MAN=20°；[理由同（1）]

（3）由（2）知MA=MB，NA=NC．
∴AM+AN+MN=BM+NC+MN=BC=10cm．
分析：（1）利用線段垂直平分線的性質求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，易求解；
（2）同一；
（3）由線段垂直平分線求出AM=BM，AN=CN，可求解．
點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質；進行有效的角與線段的轉化是正確解答本題的關鍵．