Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，點D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD的延長線，垂足為E．

（1）若BD是AC邊上的中線，如圖1，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，如圖2，求的值.

Answer 1

（1）；（2）2.

試題分析：設AB=AC=1，CD=x，應用勾股定理和相似三角形的判定和性質，把用x來表示，
（1）若BD是AC的中線，則CD=AD，據此求出的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，則由Rt△ABD∽Rt△EBC得，據此求出的值.
試題解析：設AB=AC=1，CD=x，則0＜x≤1，BC=，AD=1－x．
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=1+（1－x）²=x²－2x+2．
由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴，即，∴.
∴，0＜x≤1.
（1）若BD是AC的中線，則CD=AD=x=，得.
（2）若BD是∠ABC的角平分線，則Rt△ABD∽Rt△EBC，
∴，得，即，解得，.
∴.