Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）求證：△ABC≌△EAF；
（2）試判斷四邊形EFDA的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，

∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°．

又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC．

在△ABC和△EAF中 ，

∴△ABC≌△EAF．

（2）解：結論：四邊形EFDA是平行四邊形．

理由：∵△ABC≌△EAF，

∴EF=AC．

∵△ACD是的等邊三角形，

∴AC=AD，∠CAD=60°，

∴AD=EF．

又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

∴∠EFA=∠BAD=90°，

∴EF∥AD．

又∵EF=AD，

∴四邊形EFDA是平行四邊形

【解析】（1）由△ABE是等邊三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下來依據AAS證明△ABC≌△EAF即可；（2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等邊三角形進而可證明AC=AD，然互再證明∠BAD=90°，可證明EF∥AD，故此可得到四邊形EFDA為平行四邊形．本題主要考查的是全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質，證得∠EFA=∠BAD=90°是解題的關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)．