Question

為了順應市場要求，無為縣花炮廠技術部研制開發一種新產品，年初上市后，公司經歷了從虧損到盈利的過程．下面的二次函數圖象（部分）刻畫了該廠年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關系（即前t個月的利潤總和s和t之間的關系）．根據圖象提供的信息，解答下列問題：
（1）由已知圖象上的三點坐標，求累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函數關系式；
（2）求截止到幾月末花炮廠累積利潤可達到30萬元；
（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）由已知圖象上的三點坐標，設二次函數解析式為s=at²+bt+c，列方程組，求解析式；
（2）求二次函數最大值，可以用公式法或者配方法；
（3）第8個月公司所獲利潤=第8個月公司累積利潤-第7個月公司累積利潤．

解答：解：（1）設二次函數解析式為s=at²+bt+c
∵圖象經過（0，0），（4，0），（2，-2）
由題意，得

0=c 0=16a+4b+c -2=4a+2b+c

解得

a= 1 2 b=-2 c=0

∴s=

1

2

t²-2t（t≥0）（本題也可以選擇其它三點坐標解題）；

（2）當s=30時，30=

1

2

t²-2t
解得t₁=-6（不合題意，舍去），t₂=10
∴截止到10月末花炮廠累積利潤達30萬元；

（3）當t=8時，s₁=

1

2

×8²-2×8=16（萬元）
當t=7時，s₂=

1

2

×7²-2×7=10.5（萬元）
∴第8個月公司利潤為s₁-s₂=16-10.5=5.5（萬元）．

點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．