Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．

（1）求點B，C的坐標；
（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；
（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（﹣1，0）在拋物線y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，

∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．

（2）解：△CDB為直角三角形．理由如下：

由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）．

如答圖1所示，過點D作DM⊥x軸于點M，

則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

過點C作CN⊥DM于點N，則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC= = = ；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD= = = ；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD= = = ．

∵BC2+CD2=BD2，

∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）解：設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴ ，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3，

直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，

∴直線QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

設直線BD的解析式為y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4），

∴ ，

解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6．

連接CQ并延長，射線CQ交BD于點G，則G（ ，3）．

在△COB向右平移的過程中：

（I）當0＜t≤ 時，如答圖2所示：

設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

設QE與BD的交點為F，則： ，解得 ，∴F（3﹣t，2t）．

S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ （3﹣t）2span>﹣ t2t= t2+3t；

（II）當 ＜t＜3時，如答圖3所示：

設PQ分別與BC、BD交于點K、點J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．

直線BD解析式為y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，

∴J（t，6﹣2t）．

S=S△PBJ﹣S△PBK= PBPJ﹣ PBPK= （3﹣t）（6﹣2t）﹣ （3﹣t）2= t2﹣3t+ ．

綜上所述，S與t的函數關系式為：

S= ．

【解析】（1）首先將點A的坐標代入拋物線的解析式，從而可求得c的值，然后依據坐標軸上點的坐標特點以及結合拋物線的解析式可得到點B、C的坐標；
（2）依據兩點間的距離公式可求得△CDB三邊的長度，然后利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形；
（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：當0＜t≤；當＜t＜3時，然后依據題意畫出圖形，接下來，用含t的式子表示重合部分的面積即可.