Question

如圖，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D．

①若△BCD的周長為8，求BC的長；

②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度數．

Answer 1

【考點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．

【分析】①根據線段的垂直平分線的性質求出AD=BD，求出BD+DC+BC=BC+AC=8，即可得出答案；

②設∠A=a°，根據等腰三角形的性質求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根據三角形內角和定理得出方程5a=180，求出后根據三角形的外角性質求出即可．

【解答】解：①∵DE是線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∵△BCD的周長為8，

∴BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，

∵AB=AC=5，

∴BC=3；

②設∠A=a°，

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD=a°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=a°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=2a°，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴5a=180，

∴a=36，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°．

【點評】本題考查了三角形內角和定理，線段垂直平分線性質，含30度角的直角三角形，三角形的外角性質，等腰三角形的性質的應用，解此題的關鍵是推出AB=AE=EC，AE=2DE，綜合性比較強，難度適中．