Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），

且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．

（1）求證：OM＝ON；

（2）若正方形ABCD的邊長為6，OE＝EM，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MN.

【解析】

（1）證△OAM≌△OBN即可得；

（2）作OH⊥AD，由正方形的邊長為6且E為OM的中點知OH=HA=3、HM=6，再根據勾股定理得OM=，由勾股定理即可求出MN的長．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，

∴∠OAM=∠OBN=135°，

∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，

∴∠AOM=∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM=ON；

（2）如圖，過點O作OH⊥AD于點H，

∵正方形的邊長為6，

∴OH=HA=3，

∵E為OM的中點，

∴HM=6，

則OM=，

∴MN=．