Question

【題目】如圖，拋物線L：y=ax2+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，3），已知對稱軸x=1．

（1）求拋物線L的解析式；
（2）將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；
（3）設點P是拋物線L上任一點，點Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的對稱軸x=1，B（3，0），

∴A（﹣1，0）

∵拋物線y=ax2+bx+c過點C（0，3）

∴當x=0時，c=3．

又∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0）

∴ ，

∴

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵C（0，3），B（3，0），

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點坐標為（1，4）

∵對于直線BC：y=﹣x+1，當x=1時，y=2；將拋物線L向下平移h個單位長度，

∴當h=2時，拋物線頂點落在BC上；

當h=4時，拋物線頂點落在OB上，

∴將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），

則2≤h≤4

（3）

解：設P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），

①當P點在x軸上方時，過P點作PM垂直于y軸，交y軸與M點，過B點作BN垂直于MP的延長線于N點，如圖所示：

∵B（3，0），

∵△PBQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，BP=PQ，

則∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，

在△PQM和△BPN中， ，

∴△PQM≌△BPN（AAS），

∴PM=BN，

∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根據B點坐標可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，

解得：m=1或m=0，

∴P（1，4）或P（0，3）．

②當P點在x軸下方時，過P點作PM垂直于l于M點，過B點作BN垂直于MP的延長線與N點，

同理可得△PQM≌△BPN，

∴PM=BN，

∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，

則3+m=m2﹣2m﹣3，

解得m= 或 ．

∴P（ ， ）或（ ， ）．

綜上可得，符合條件的點P的坐標是（1，4），（0，3），（ ， ）和（ ， ）．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式即可；（2）先求出直線BC解析式為y=﹣x+3，再求出拋物線頂點坐標，得出當x=1時，y=2；結合拋物線頂點坐即可得出結果；（3）設P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2 ， PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2 ， BQ2=n2+36，過P點作PM垂直于y軸，交y軸與M點，過B點作BN垂直于MP的延長線于N點，由AAS證明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，則MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．本題是二次函數綜合題目，考查了用待定系數法求出拋物線的解析式、拋物線的頂點式、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、坐標與圖形性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結果．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能正確解答此題．