【題目】如圖，矩形
中，
為
的中點，過點的直線分別交
，
于
，
兩點，點
，
在對角線上，
，連接
、
、
、
.
（1）求證：四邊形
是平行四邊形；
（2）若
，
，
，求
的長.
【答案】（1）見解析；（2）5
【解析】
（1）根據矩形性質得對邊平行，再得內錯角相等，證明△CFO≌△AEO，得EO=FO，進而根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即證；（2）根據定義證明四邊形EGFH是菱形，其性質為對角線互相垂直，通過證△AOE∽△ABC，得對應邊成比例列式計算.
解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，
∵O為AC的中點，
∴CO=AO，
∴△CFO≌△AEO，
∴EO=FO，
∵CO=AO，AG=CH，
∴OH=OG，
∵EO=FO，OH=OG，
∴四邊形
是平行四邊形.
（2）∵EG=EH，
∴平行四邊形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，
∴∠AOE=90°
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,BC=AD=4
∵AB=8，
∴由勾股定理得，AC=
,
∴AO=
.
∵∠AOE=∠B=90°, ∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
,即
∴AE=5.
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【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圓，點D是圓上一點，點D、B分別在AC兩側，且BD=BC，連接AD、BD、OD、CD，延長CB到點P，使∠APB=∠DCB．
（1）求證：AP為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，當△OED是直角三角形時，求△ABC的面積；
（3）若△BOE、△DOE、△AED的面積分別為a、b、c，試探究a、b、c之間的等量關系式，并說明理由．
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【題目】如圖，用長為6m的鋁合金條制成“日”字形窗框，若窗框的寬為xm，窗戶的透光面積為ym2（鋁合金條的寬度不計）．
（1）求出y與x的函數關系式；
（2）如何安排窗框的長和寬，才能使得窗戶的透光面積最大？并求出此時的最大面積．
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【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于點F，連接ED．
（1）求證：△AEF∽△BDF；
（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的長．
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【題目】如圖為二次函數
圖象，直線
與拋物線交于
兩點,兩點橫坐標分別為
根據函數圖象信息有下列結論:
①
;
②若對于
的任意值都有
,則
;
③
;
④;
⑤當
為定值時若
變大,則線段
變長
其中，正確的結論有__________(寫出所有正確結論的番號)
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【題目】已知二次函數
。
（1）該二次函數圖象的對稱軸是_____________________；
（2）若該二次函數的圖象開口向上，當
時，函數圖象的最高點為
，最低點為
，點的縱坐標為11，求點和點的坐標；
（3）對于該二次函數圖象上的兩點
，設
，當
時，均有
，請結合圖象，求出
的取值范圍.
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【題目】根據對徐州市相關的市場物價調研，預計進入夏季后的某一段時間，某批發市場內的甲種蔬菜的銷售利潤y1（千元）與進貨量x（噸）之間的函數
的圖象如圖①所示，乙種蔬菜的銷售利潤y2（千元）與進貨量x（噸）之間的函數
的圖象如圖②所示.
（1）分別求出y1、y2與x之間的函數關系式；
（2）如果該市場準備進甲、乙兩種蔬菜共10噸，設乙種蔬菜的進貨量為t噸，寫出這兩種蔬菜所獲得的銷售利潤之和W（千元）與t（噸）之間的函數關系式，并求出這兩種蔬菜各進多少噸時 獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少？
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